해석학을 공부하게 되면 $\sigma$-field라는 것을 만나게 된다. $\sigma$-field의 정의는 다음과 같다.

Definition

$\Omega$를 집합이라고 하자. 그러면 $\Omega$위에 정의된 $\sigma$-field $\mathcal{F}$는 다음 세 조건을 만족하는 $\Omega$의 부분집합들의 모임이다. 즉, $\sigma$-field $\mathcal{F}$는 $\mathcal{F}\subseteq2^\Omega$로, 다음 세 조건을 만족한다.

$\empty,\Omega\in\mathcal{F}$.
$A\in\mathcal{F}\Rightarrow A^c:=\Omega-A\in\mathcal{F}$.
$A_1,A_2,\cdots\in\mathcal{F}\Rightarrow\big(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\big)\in\mathcal{F}$.

$\sigma$-field는 무엇이고 왜 필요한 것일까?

관점 1. 확률론적 측면

Measurable space (가측공간) $(\Omega,\mathcal{F})$가 있을 때 이 가측공간 위에 정해진 probability measure (확률측도) $\mathbb{P}$는 다음 조건을 만족하는 함수 $\mathbb{P}:\mathcal{F}\to\mathbb{R}$이다:

$\mathbb{P}(\empty)=0$
$\mathbb{P}(\Omega)=1$
$A_1,A_2,\cdots$가 disjoint set들이라면,

$$ \mathbb{P}\bigg(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\bigg)=\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(A_n) $$

이다.

Motivation

다음 문제를 생각해보자.

정수집합 $\mathbb{Z}$에서 숫자를 균등한 확률로 뽑는 확률을 수학적으로 정의할 수 있는가?

proof)

이 문제가 말해주는 것은 무엇일까? 바로 우리가 원하는 모든 상상 가능한 확률들이 수학적으로 잘 정의되는 것은 아니라는 것이다. 상상 가능한 모든 사건들 중에서 좋은 성질들을 가지는 것들만이 수학적으로 잘 정의될 수 있고, 그것들의 공통된 성질을 추출하여 $\sigma$-field라고 부른다.

다시 $\sigma$-field의 정의를 살펴보자.